Mth501 

Current Mid-term paper 2023


Subjective

1.. V¹, V² and V³ vectors were given..u have to find the Matrix are linearly independent or not (sol. Donu Vector ik dusre k multiples the so linearly dependent answer hoga)

2. Ak 3x3 matrics diya hua tha |°°°| with determinant wali lines...aur bola tha k proof kren k ye 6|°°°| h...(sol. First row se  and 2nd row se 3 common len to bahir multiply jo k 6 aa jaenge and baqi resultant maric sath

3. find the minor of 3rd row, and also find determinants using that minors

4. Partitioned matrix diya tha 3x3 and 3x4 ka...unki partition kr k hud hi unka AB nikaalna tha

5. 3 equations di hui thin unki linear dependency check krni thi... (Sol. determinant lo 0 aega to mtlb linearly dependent hain

6. U¹, U² and b diya hua tha... unka btana tha k b can be written as the linear combination of u¹ and u² or not


Objective very basic and easy questions (prepare quiz preparation videos of Waqar institute)


Mth501 Paper 10 June

Time 9:00am



Mcqs 

Waqar sey 10 baqi concept base matrix key uppr teh or determinant sath main juanid ke bhe file krlyna


Subjective:

A+B=B+A asey aye teh aik 2 short main or aik long main long main transpose ley ker addition krna tah or short main bhe aik short asa tah or dosra short multiple wala tah or 3rd short vector jeysa tah woh mhe kiya


Baqi determinant ka tah long 3 by 3 matrix per equal to krna tah unhy bhe

Or dosra 3rd long tah jacobi method sey krna tah


 𝐌𝐓𝐇𝟓𝟎𝟏 𝐦𝐢𝐝𝐭𝐞𝐫𝐦 𝐜𝐮𝐫𝐫𝐞𝐧𝐭 𝐩𝐚𝐩𝐞𝐫 𝐛𝐲 𝐌𝐞𝐦𝐞𝐫 🙂


𝐐𝐮𝐢𝐳𝐳𝐞𝐬:

𝐌𝐨𝐬𝐭𝐥𝐲 𝐪𝐮𝐢𝐳𝐳𝐞𝐬 𝐟𝐫𝐨𝐦 𝐰𝐚𝐪𝐚𝐫 𝐟𝐢𝐥𝐞.


𝟏: 𝐋𝐞𝐭 𝐀 𝐛𝐞 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐨𝐟 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐫 𝟐𝐱𝟑 𝐁 𝐛𝐞 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐨𝐟 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐫 𝟑𝐱𝟒 𝐚𝐧𝐝 𝐂 𝐛𝐞 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐨𝐟 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐫 𝟒𝐱𝟓, 𝐚𝐧𝐝 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐰𝐡𝐢𝐜𝐡

𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐬 𝐭𝐡𝐞 𝐨𝐫𝐝𝐞𝐫 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐀𝐁?


𝐀𝐧𝐬: 𝟑𝐱𝟓


𝟐. 𝟕𝐱 𝐢𝐬 𝐚𝐧 𝐚𝐥𝐠𝐞𝐛𝐫𝐚𝐢𝐜 𝐭𝐞𝐫𝐦 𝐢𝐧 𝐰𝐡𝐢𝐜𝐡 𝟕 𝐢𝐬 𝐚 ___ 𝐚𝐧𝐝 𝐱 𝐢𝐬 𝐚 ___. 


𝐀𝐧𝐬: 𝐜𝐨𝐞𝐟𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭, 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞


𝟑. 𝐈𝐟 𝐯𝟏=(𝟐,𝟐,𝟐), 𝐯𝟐=(𝟎,𝟎,𝟑), 𝐚𝐧𝐝 𝐯𝟑=(𝟎,𝟏,𝟏) 𝐬𝐩𝐚𝐧 𝐑𝟑

, 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐰𝐡𝐢𝐜𝐡 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐬 𝐭𝐫𝐮𝐞 𝐟𝐨𝐫 𝐚𝐧𝐲

𝐚𝐫𝐛𝐢𝐭𝐫𝐚𝐫𝐲 𝐛 𝐛 𝐛 𝐛 ( 𝟏 𝟐 𝟑, , ) 𝐑𝟑?

𝐀𝐧𝐬: (𝐛𝟏,𝐛𝟐,𝐛𝟑) = 𝐤𝟏(𝟐,𝟐,𝟐)+𝐤𝟐(𝟎,𝟎,𝟑)+𝐤𝟑(𝟎,𝟏,𝟏)


𝟒. 𝐖𝐡𝐢𝐜𝐡 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐬 𝐚 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫 𝐞𝐪𝐮𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧? 

𝐀𝐧𝐬: 


𝟓. 𝐖𝐡𝐢𝐜𝐡 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐬 𝐭𝐫𝐮𝐞 𝐟𝐨𝐫 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱

𝟏 𝟎 𝟎

𝟎 𝟐 𝟎

𝟎 𝟎 𝟑


𝐀𝐧𝐬:  𝐈𝐭 𝐢𝐬 𝐚 𝐝𝐢𝐚𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱. 



𝟔. 𝐈𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱

𝟐 𝟑 𝟒

𝟏 𝟐 𝟐

𝟑 𝟒 𝟓

𝐢𝐬 -𝟏 𝐚𝐧𝐝 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐁 𝐢𝐬 𝐨𝐛𝐭𝐚𝐢𝐧𝐞𝐝

𝐛𝐲 𝐚𝐝𝐝𝐢𝐧𝐠 𝟐 𝐭𝐢𝐦𝐞𝐬 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐬𝐞𝐜𝐨𝐧𝐝 𝐫𝐨𝐰 𝐢𝐧 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐢𝐫𝐬𝐭 𝐫𝐨𝐰 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐀, 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐰𝐡𝐢𝐜𝐡 𝐨𝐟

𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐬 𝐭𝐫𝐮𝐞 𝐟𝐨𝐫 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐁?

𝐀𝐧𝐬: 𝐈𝐭𝐬 𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐧𝐭 𝐢𝐬 -𝟏. 


𝟕. 𝐈𝐟 𝐚 𝐬𝐲𝐬𝐭𝐞𝐦 𝐨𝐟 𝐞𝐪𝐮𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧𝐬 𝐢𝐬 𝐬𝐨𝐥𝐯𝐞𝐝 𝐮𝐬𝐢𝐧𝐠 𝐭𝐡𝐞 𝐉𝐚𝐜𝐨𝐛𝐢’𝐬 𝐦𝐞𝐭𝐡𝐨𝐝 , 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐰𝐡𝐢𝐜𝐡 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞

𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐬 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐨𝐬𝐭 𝐚𝐩𝐩𝐫𝐨𝐩𝐫𝐢𝐚𝐭𝐞 𝐚𝐧𝐬𝐰𝐞𝐫 𝐚𝐛𝐨𝐮𝐭 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐌 𝐭𝐡𝐚𝐭 𝐢𝐬 𝐝𝐞𝐫𝐢𝐯𝐞𝐝 𝐟𝐫𝐨𝐦

𝐭𝐡𝐞 𝐜𝐨𝐞𝐟𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 ? 


𝐀𝐧𝐬: 𝐀𝐥𝐥 𝐨𝐟 𝐢𝐭𝐬 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐢𝐞𝐬 𝐚𝐛𝐨𝐯𝐞 𝐭𝐡𝐞 𝐝𝐢𝐚𝐠𝐨𝐧𝐚𝐥 𝐦𝐮𝐬𝐭 𝐛𝐞 𝐳𝐞𝐫𝐨. 


𝟖. 𝐋𝐞𝐭 𝐓𝐕 𝐖 : → 𝐛𝐞 𝐚 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫 𝐭𝐫𝐚𝐧𝐬𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧. 𝐓𝐡𝐞𝐧 𝐓 𝐢𝐬 𝐬𝐚𝐢𝐝 𝐭𝐨 𝐛𝐞 𝐨𝐧𝐞-𝐨𝐧𝐞 𝐢𝐟 𝐟𝐨𝐫 𝐚𝐧𝐲

𝐮𝐯 𝐕 , ∈ 𝐰𝐢𝐭𝐡 𝐮 𝐯 ≠ 𝐢𝐦𝐩𝐥𝐢𝐞𝐬 𝐓𝐮 𝐓𝐯 ≠ . 𝐄𝐪𝐮𝐢𝐯𝐚𝐥𝐞𝐧𝐭𝐥𝐲 𝐢𝐟 𝐓𝐮 𝐓𝐯 = 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐮 𝐯 = .


𝐀𝐧𝐬: 𝐨𝐧𝐞-𝐭𝐨-𝐨𝐧𝐞 𝐨𝐫 𝐛𝐢𝐣𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐞


𝟗. 𝐅𝐫𝐞𝐞 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬

𝟏𝟎. 𝐈𝐟

𝐚 𝐛

𝐜 𝐝

, 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐰𝐡𝐢𝐜𝐡 𝐨𝐟 𝐭𝐡𝐞 𝐟𝐨𝐥𝐥𝐨𝐰𝐢𝐧𝐠 𝐢𝐬


𝐀𝐧𝐬: 𝐚𝐝-𝐛𝐜


𝟏𝟏. 𝐀 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐚𝐬 𝐭𝐡𝐞 𝐩𝐫𝐨𝐝𝐮𝐜𝐭 𝐨𝐟 𝐚 𝐥𝐨𝐰𝐞𝐫 𝐭𝐫𝐢𝐚𝐧𝐠𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐚𝐧𝐝 𝐚𝐧 𝐮𝐩𝐩𝐞𝐫 𝐭𝐫𝐢𝐚𝐧𝐠𝐮𝐥𝐚𝐫 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 .


𝐀𝐧𝐬: 𝐋𝐔-𝐝𝐞𝐜𝐨𝐦𝐩𝐨𝐬𝐢𝐭𝐢𝐨𝐧


𝟏𝟐. 𝐜(𝐮 + 𝐯) = 𝐜𝐮 + 𝐜𝐯


𝐀𝐧𝐬: 𝐒𝐜𝐚𝐥𝐚𝐫 𝐃𝐢𝐬𝐭𝐫𝐢𝐛𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐨𝐯𝐞𝐫 𝐕𝐞𝐜𝐭𝐨𝐫 𝐀𝐝𝐝𝐢𝐭𝐢𝐨𝐧


𝟏𝟑. 𝐖𝐡𝐚𝐭 𝐢𝐬 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐚𝐱𝐢𝐦𝐮𝐦 𝐩𝐨𝐬𝐬𝐢𝐛𝐥𝐥𝐞 𝐧𝐮𝐦𝐛𝐞𝐫 𝐨𝐟 𝐩𝐢𝐯𝐨𝐭𝐬 𝐢𝐧 𝐚 𝟒 × 𝟕 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱?


𝟏𝟒. 𝐈𝐟 𝐀 𝐢𝐬 𝐚𝐧 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐭𝐢𝐛𝐥𝐞 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱, 𝐭𝐡𝐞𝐧 𝐀-𝟏 𝐢𝐬 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐭𝐢𝐛𝐥𝐞 𝐚𝐧𝐝


𝐀𝐧𝐬: (𝐀-¹)-¹ = 𝐀


𝐓𝐡𝐞 𝐫𝐞𝐦𝐚𝐢𝐧𝐢𝐧𝐠 𝐪𝐮𝐢𝐳𝐳𝐞𝐬 𝐰𝐞𝐫𝐞 𝐟𝐫𝐨𝐦 𝐰𝐚𝐪𝐚𝐫 𝐟𝐢𝐥𝐞


𝐒𝐮𝐛𝐣𝐞𝐜𝐭𝐢𝐯𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐭


𝐒𝐡𝐨𝐫𝐭 𝐪𝐮𝐞𝐬𝐭𝐢𝐨𝐧𝐬


𝐐: 𝐅𝐢𝐧𝐝 𝐭𝐡𝐞 𝐦𝐢𝐧𝐨𝐫 𝐨𝐟 𝐌𝟏𝟑 𝐚𝐧𝐝 𝐜𝐨𝐟𝐚𝐜𝐭𝐨𝐫 𝐂𝟏𝟐 𝐟𝐫𝐨𝐦 𝐠𝐢𝐯𝐞𝐧 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱?

𝐐: 𝐖𝐫𝐢𝐭𝐞 𝐂𝐨𝐞𝐟𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭, 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞𝐬 𝐚𝐧𝐝 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭 𝐨𝐟 𝟓𝐱+𝟑𝐲-𝟏𝟐. 𝐀𝐥𝐬𝐨 𝐦𝐞𝐧𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐢𝐬 𝐢𝐭 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫 𝐨𝐫 𝐧𝐨𝐭?

𝐐: 𝐋𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫𝐥𝐲 𝐝𝐞𝐩𝐞𝐧𝐝𝐞𝐧𝐭 𝐨𝐫 𝐧𝐨𝐭?

𝐋𝐨𝐧𝐠 𝐐𝐮𝐞𝐬𝐭𝐢𝐨𝐧


𝐐: 𝐅𝐢𝐧𝐝 𝐀-¹ 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱 𝐰𝐚𝐬 𝐠𝐢𝐯𝐞𝐧

𝐐: 𝐋𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫𝐥𝐲 𝐝𝐞𝐩𝐞𝐧𝐝𝐞𝐧𝐭 𝐨𝐫 𝐧𝐨𝐭? 𝐦𝐚𝐭𝐫𝐢𝐜𝐞𝐬 𝐰𝐚𝐬 𝐠𝐢𝐯𝐞𝐧 (𝐥𝐞𝐜𝐭 𝟖)

𝐐: 𝐒𝐨𝐥𝐯𝐞 𝐭𝐡𝐞 𝐥𝐢𝐧𝐞𝐚𝐫 𝐬𝐲𝐬𝐭𝐞𝐦...... 𝐀𝐥𝐬𝐨 𝐦𝐞𝐧𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐢𝐬 𝐢𝐭 𝐮𝐧𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐨𝐫 𝐢𝐧𝐟𝐢𝐧𝐢𝐭𝐞 𝐦𝐚𝐧𝐲 𝐬𝐨𝐥𝐮𝐭𝐢𝐨𝐧? (𝐋𝐞𝐜𝐭 𝟑)


𝐁𝐞𝐬𝐭 𝐨𝐟 𝐥𝐮𝐜𝐤 🍀